多维空间单位球上,距离为1的顶点个数

作者:hws000(hws.000#163.com)
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出处:https://blog.simbot.net/index.php/2020/11/17/n-dim-point-count/

        标题起的不好,先解释下可能有歧义的地方:顶点在球面上,边长(非弧长)不小于半径。即多维空间中以球心为原点,距离相等的点的个数。最关键的是“推断”二字。(原标题“多维空间球面上,边长不小于半径的等边三角形的顶点数推断”,标题已经改了,但文章的本意没有变,所以还用这个坑。。。。)(2022年3月5日修改)

        二维情况(这里叫圆,不叫球。。。):6个。把360度,按60度等分,正好6份,边长和半径完全相等。

        三维情况:12个。正二十面体,每个面都是等边三角形,顶点数12个,外接球半径0.95,边长略大于半径,符合条件。

        四维情况:24个。正二十四胞体,每个面都是等边三角形,顶点数24,外接超球半径为1。

        n维情况:3×2n-1 ???从前面的3种情况,理论上可以这样推断。。。。(这个推断偏差有点大!)

       下边的内容为新增加的。

        8维情况:240个。来源:维基百科——4_21 polytope。坐标分别为2、1组合时,各组合的点数为112、128。坐标分别为√8、√2组合时(√8=2√2),各组合的点数分别为16、224。

        16维情况:4320个。来源:穷举,结果在这下载。坐标分别为4、2、1组合时,各组合的点数为32、2240、2048。坐标分别为√8、√2组合时,各组合的点数分别为480、3840。

        32维情况:146880个。来源:穷举,结果在这下载。坐标分别为4、2、1组合时,点数为1984、79360、65536。坐标分别为√32、√8、√2组合时,各组合的点数为64、19840、126976。

        顶点数有规律的维度是4、8、16、32等,各维度顶点的规律、生成方法将在后续的文章中描述。

 

参考资料:

        正二十面体,https://zh.wikipedia.org/wiki/正二十面体

        正二十四胞体,https://zh.wikipedia.org/wiki/正二十四胞体

        4_21 polytope,https://en.wikipedia.org/wiki/4_21_polytope

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