多维空间坐标系中的平分线夹角

作者:hws000(hws.000#163.com)
声明:版权所有,转载请联系作者。
出处:https://blog.simbot.net/index.php/2020/11/20/n-dim-angle/

        二维直角坐标系中,角平分线与x轴、y轴的夹角为45°。现有原点o,平分线上的点r(1,1),x轴上的点a(1,0),∠roa用θ表示,∠rao是90°。根据余弦的定义,cosθ=邻边/斜边,邻边长度是1,斜边是√2,因此cosθ等于0.7071,θ等于45°。在n维空间中,r坐标为(1,…,1),斜边长度√n,任意坐标轴上的点a(0,…,1,…,0),邻边长为1,cosθ等于1/√n。当n等于3、4、8…时,θ的值如下,n越大,θ越接近90°:

n 3 4 8 16 32 64 128 256 512
θ 54.7 60 69.3 75.5 79.8 82.8 84.9 86.4 87.5

      若r1 落在某个坐标轴的值为-1,则r1 坐标是(1,…,-1,…,1),or1 长度也为√n,rr1 长度为2,∠ror1 用θ1 表示。根据余弦公式\(\cos \theta =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\),可知cosθ1 =(2n-4)/2n=(n-2)/n。当n等于3、4、8…时,θ1 的值如下,n越大,θ1 越接近0°:

n 3 4 8 16 32 64 128 256 512
θ1 70.5 60 41.4 29 20.4 14.4 10.1 7.2 5.1

      当rk 落在k个坐标轴的值均为-1时,rrk 长度为2√k,cosθk =(n-2k)/n。选取n的典型值为128,θk 的值如下:

k 1 2 3 4 8 16 32 64
θk 10.1 14.4 17.6 20.4 29 41.4 60 90

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注